Dúvida análise funcional

[TLGL]

Seja V um espaço de Hilbert e P : V para V um operador de projecção ortogonal. Prove que o
operador I - P é também uma projecção ortogonal e
((I - P)u; Pu) = 0 qualquer que seja u pertencente a V.

Obrigada

[Nuno Filipe]

Se P é uma projecção ortogonal então P^2=I (onde o quadrado significa a composição).

Assim,

(I-P)^2(u)=(I-P)((I-P)(u))=(I-P)(u-P(u))=u-P(u)-P(u)+P^2(u)=u-P(u)-P(u)+P(u)=u-P(u)=(I-P)(u)
donde se pode concluir que I-P é uma projecção ortogonal.

Quando à segunda parte, relembrando que uma projecção ortogonal é um operador auto adjunto, vem

<u-P(u),P(u)>=<u,P(u)> - <P(u),P(u)>=<u,P(u)> - <u,P^2(u)>=<u,P(u)> - <u,P(u)>=0.

Cumprimentos